Как найти определитель матрицы 3х3 разными способами

Определитель матрицы является важным понятием в линейной алгебре и математике в целом. Он позволяет определить, является ли матрица обратимой, а также решить множество задач в различных областях, включая физику, экономику и дифференциальные уравнения. В этой статье мы рассмотрим, как можно найти определитель матрицы 3х3 разными способами.

Первый способ нахождения определителя матрицы 3х3 — это использование свойств определителя. Согласно этим свойствам, определитель матрицы 3х3 можно выразить через определители матриц 2х2, полученных путем исключения строк и столбцов. Например, определитель матрицы A можно выразить через определители матрицы B, C и D, полученных путем исключения первой строки и первого, второго и третьего столбца соответственно.

Второй способ нахождения определителя матрицы 3х3 — это использование формулы разложения определителя по любой строке или столбцу. Согласно этой формуле, определитель матрицы 3х3 можно выразить через определители матриц 2х2, полученных путем пересечения строки и столбца, по которым производится разложение. Например, определитель матрицы A можно выразить через определители матрицы B, C и D, полученных путем пересечения первой строки и первого, второго и третьего столбца соответственно.

Третий способ нахождения определителя матрицы 3х3 — это использование свойств тройного произведения векторов. Согласно этим свойствам, определитель матрицы 3х3 можно выразить через тройное произведение векторов, составленных из строк или столбцов матрицы. Например, определитель матрицы A можно выразить через тройное произведение векторов, составленных из строк матрицы A.

Метод разложения по строке

Допустим, мы выбрали первую строку матрицы. Тогда будем разлагать ее на миноры при помощи формулы:

D = a11 * A11 — a12 * A12 + a13 * A13

Где a11, a12 и a13 — элементы первой строки матрицы, а A11, A12 и A13 — их соответствующие миноры.

Миноры A11, A12 и A13 также можно вычислить при помощи определителя. Для этого необходимо удалить из матрицы первую строку и столбец, к которому относится каждый минор.

Итак, мы получили определитель матрицы 3×3, вычисленный методом разложения по строке. Остается только произвести необходимые вычисления и получить окончательный результат.

Метод разложения по столбцу

Допустим, мы выбрали первый столбец матрицы. Для начала определим знак определителя: если номер столбца чётный (первый столбец — это 1-ый столбец), то знак будет положительный, если нечётный — знак будет отрицательным.

Далее, необходимо произвести разложение определителя по первому столбцу. Для этого создаём три дополнительные матрицы размером 2х2, удаляя при этом первый столбец каждой матрицы. Затем находим определители этих трёх получившихся матриц.

Определители этих трёх матриц обозначим как A, B и C. Имея эти значения, определитель матрицы 3х3 будет равен разности A, B и C с учетом знака определителя.

  • Определитель A можно найти, разложив матрицу 2х2 по первому столбцу и находя его как разность произведения левого верхнего элемента на правый нижний и умножения правого верхнего элемента на левый нижний.
  • Определитель B можно найти, разложив матрицу 2х2 по второму столбцу и находя его аналогичным образом.
  • Определитель C можно найти, разложив матрицу 2х2 по третьему столбцу и находя его также аналогичным образом.

После нахождения определителей A, B и C остается только вычислить значение определителя 3х3 путем вычитания определителей B и C из определителя A, учитывая знак определителя.

Метод разложения по третьей строке

Для начала, определим третий элемент третьей строки матрицы — a3,3. Затем, вычеркнем из исходной матрицы третью строку и столбцы, соответствующие этой строке, и получим новую матрицу 2х2.

Далее, найдем определитель этой новой матрицы 2х2 (назовем его D1). Он вычисляется как произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Затем, определим второй элемент третьей строки матрицы — a3,2. Для этого, вычеркнем из исходной матрицы третью строку и столбец, соответствующий этому элементу. Получим новую матрицу 2х2 и найдем ее определитель (назовем его D2), используя тот же самый метод, что и для первого элемента третьей строки.

Аналогично, определим первый элемент третьей строки матрицы — a3,1. Вычеркнем третью строку и первый столбец из исходной матрицы, получим новую матрицу 2х2 и найдем ее определитель (назовем его D3).

Определитель исходной матрицы 3х3 равен сумме произведений элементов третьей строки исходной матрицы на соответствующие им определители миноров, полученных в результате вычеркивания третьей строки и столбцов.

Таким образом, определитель матрицы 3х3 можно вычислить по формуле:

det(A) = a3,1D1 — a3,2D2 + a3,3D3

Где: det(A) — определитель исходной матрицы 3х3, ai,j — элемент матрицы в i-ой строке и j-ом столбце, Di — определитель соответствующего минора.

Оцените статью