Как вычислить дисперсию двумя способами?

Дисперсия — это мера разброса значений в выборке относительно их среднего значения. Ее вычисление является важной задачей при анализе данных. Существует несколько способов вычисления дисперсии, но в данной статье мы рассмотрим два наиболее распространенных и надежных подхода.

Первый способ вычисления дисперсии основан на формуле, которая использует разницу между каждым значением выборки и средним значением. Этот метод, известный какМетод наименьших квадратов, предоставляет точную оценку разброса данных, но требует вычисления квадратов разниц и их суммирования.

Второй способ вычисления дисперсии основан на использовании свойств дисперсии и математического ожидания. В этом методе сначала вычисляется среднее значение, затем каждое значение выборки уменьшается на эту среднюю величину, и затем квадраты полученных разностей суммируются и делятся на количество значений. Этот метод, известный как Метод извлечения сложности, также обеспечивает точный результат, но не требует вычисления квадратов и их суммирования, что делает его немного более эффективным.

В данной статье мы подробно рассмотрим оба метода и предоставим примеры их применения. Вы узнаете, как использовать эти методы для вычисления дисперсии ваших данных и как выбрать наиболее подходящий способ в каждом конкретном случае. Не пропустите следующую часть статьи, где мы начнем с первого метода и разберем его пошагово.

Что такое дисперсия

Дисперсия позволяет оценить, насколько данные равномерно распределены вокруг среднего значения. Большая дисперсия означает, что значения разбросаны по всему диапазону выборки, в то время как маленькая дисперсия указывает на то, что значения сгруппированы близко к среднему.

Вычисление дисперсии позволяет получить количественную оценку степени изменчивости данных. Это важный показатель, который широко используется в статистике, экономике, физике и других науках.

Дисперсия рассчитывается путем вычисления среднего квадратичного отклонения каждого значения из выборки от ее среднего значения. Постепенно увеличивая дисперсию, можно получить информацию о коэффициенте изменчивости и распределении данных.

Способ 1: Метод математического ожидания

Для вычисления дисперсии с использованием метода математического ожидания необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Посчитать среднее значение выборки, которую мы будем анализировать. Для этого нужно сложить все значения выборки и разделить их на количество элементов в выборке. Например, если у нас есть выборка [5, 10, 15, 20], то среднее значение будет равно (5 + 10 + 15 + 20) / 4 = 12.5.
  2. Вычислить разницу между каждым значением выборки и средним значением. Для этого нужно от каждого значения выборки отнять среднее значение. Возьмем выборку из предыдущего примера и найдем разницу для каждого элемента: 5 — 12.5 = -7.5, 10 — 12.5 = -2.5, 15 — 12.5 = 2.5, 20 — 12.5 = 7.5.
  3. Возвести каждую разницу в квадрат. Для этого нужно умножить каждую разницу на себя. Продолжая предыдущий пример, получим следующие значения: (-7.5) * (-7.5) = 56.25, (-2.5) * (-2.5) = 6.25, 2.5 * 2.5 = 6.25, 7.5 * 7.5 = 56.25.
  4. Посчитать среднее значение полученных квадратов, которое будет представлять собой дисперсию выборки. Для этого нужно сложить все квадраты и разделить их на количество элементов в выборке минус 1. Продолжая предыдущий пример, получим (56.25 + 6.25 + 6.25 + 56.25) / (4 — 1) = 39.5833.

Таким образом, дисперсия выборки [5, 10, 15, 20] равна 39.5833, вычисленная с использованием метода математического ожидания.

Шаг 1: Вычисление среднего значения

Чтобы вычислить среднее значение, нужно найти сумму всех значений в наборе данных и разделить эту сумму на количество значений. Формула для вычисления среднего значения выглядит так:

Среднее значение = (Сумма значений) / (Количество значений)

Например, если у нас есть набор данных состоящий из следующих чисел: 5, 8, 7, 3, 2, то чтобы найти среднее значение, нужно сложить все эти числа (5 + 8 + 7 + 3 + 2 = 25) и поделить сумму на количество значений (25 / 5 = 5).

Таким образом, среднее значение для этого набора данных равно 5. Это означает, что в среднем каждое число в наборе данных равно 5.

Шаг 2: Вычисление разности среднего значения и каждого элемента выборки

Для выполнения этого шага нужно вычесть среднее значение выборки из каждого элемента выборки. Если среднее значение выборки равно μ и каждый элемент выборки обозначен как Xi, то формула для вычисления разности будет выглядеть следующим образом:

(Xi — μ)

Вычислив разность для каждого элемента выборки, мы сможем продолжить наше исследование и перейти к следующему шагу — вычислению квадрата каждой разности.

Шаг 3: Возводим каждую разность в квадрат

Для каждого элемента данных, возьмите его разность среднего значения и возвести ее в квадрат. Затем запишите результат в новый список или таблицу данных.

Пример:

  • Данные: 5, 10, 12, 7, 3
  • Среднее значение: (5 + 10 + 12 + 7 + 3) / 5 = 7.4
  • Разность для каждого элемента данных: (5-7.4), (10-7.4), (12-7.4), (7-7.4), (3-7.4) = -2.4, 2.6, 4.6, -0.4, -4.4
  • Возводим каждую разность в квадрат: (-2.4)^2, (2.6)^2, (4.6)^2, (-0.4)^2, (-4.4)^2 = 5.76, 6.76, 21.16, 0.16, 19.36

После выполнения этого шага у нас будет новый список или таблица данных, содержащая квадраты разностей для каждого элемента данных.

Шаг 4: Находим среднее значение квадратов разностей

Теперь, когда у нас есть список разностей, найдем их квадраты. Возведем каждую разность в квадрат и запишем полученные значения.

Далее, найдем среднее значение этих квадратов. Для этого просуммируем все квадраты разностей и разделим полученную сумму на количество элементов в нашем исходном наборе данных.

Среднее значение квадратов разностей называется дисперсией. Это мера разброса данных относительно их среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс данных.

Шаг 5: Результирующая дисперсия

Существует два способа вычисления результирующей дисперсии: с помощью суммы квадратов отклонений и с использованием формулы, основанной на среднем значении и сумме квадратов разностей.

В первом случае, для вычисления результирующей дисперсии необходимо:

  1. Вычислить среднее значение выборки.
  2. Вычислить отклонения каждого значения от среднего.
  3. Возвести каждое отклонение в квадрат.
  4. Сложить все полученные квадраты отклонений.
  5. Разделить сумму квадратов на количество значений в выборке.

Второй способ вычисления результирующей дисперсии основан на использовании следующей формулы:

Формула:Результирующая дисперсия = (сумма квадратов разностей) / (количество значений - 1)

Выбор способа вычисления результирующей дисперсии зависит от конкретных задач и предпочтений исследователя.

Способ 2: Метод вычисления выборочной дисперсии

Метод вычисления выборочной дисперсии может быть представлен следующим образом:

1. Вычислите среднее значение выборки, обозначенное как X̅.
2. Для каждого значения в выборке вычислите разность между этим значением и средним значением выборки.
3. Возведите каждую разность в квадрат.
4. Просуммируйте все квадраты разностей.
5. Разделите сумму квадратов разностей на количество значений в выборке минус 1.

В результате выполнения всех этих шагов мы получим выборочную дисперсию выборки. Она представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности на основе имеющихся данных.

Этот метод является более точным, чем метод вычисления дисперсии по формуле, так как он учитывает изменчивость в данных, а не полагается только на математическую формулу.

Шаг 1: Вычисление среднего значения

Для вычисления среднего значения нужно:

  1. Сложить все значения в наборе данных. Например, если у нас есть набор данных [2, 4, 6], мы должны сложить 2 + 4 + 6 = 12.
  2. Разделить сумму на количество значений в наборе данных. В нашем примере у нас 3 значения, поэтому мы должны разделить сумму на 3. В итоге получаем среднее значение 12 / 3 = 4.

Таким образом, среднее значение набора данных [2, 4, 6] равно 4.

Вычисление среднего значения является первым шагом в вычислении дисперсии и позволяет нам получить представление о центральной тенденции данных.

Шаг 2: Вычисление разности среднего значения и каждого элемента выборки

После того, как мы вычислили среднее значение выборки, необходимо вычислить разность среднего значения со всеми элементами выборки. Для этого мы отнимаем значение среднего от каждого элемента.

Пусть xi — это i-ый элемент выборки, а μ — среднее значение выборки. Тогда разность xi — μ будет равна:

(xi — μ)

Вычисляем данную разность для каждого элемента выборки и записываем результат в отдельный список или массив.

Это позволит нам учесть различия между каждым значением выборки и средним значением. Разность xi — μ показывает, насколько удалено значение i от среднего значения, и будет использоваться в дальнейших вычислениях для определения дисперсии.

Шаг 3: Возводим каждую разность в квадрат

После вычитания среднего значения из каждого элемента выборки, необходимо возвести каждую полученную разность в квадрат. Это можно сделать путем умножения разности на саму себя.

Предположим, что у нас имеется выборка чисел: 5, 2, 7, 4 и 6. И мы уже вычислили среднее значение выборки равное 4.8. Теперь необходимо вычесть это среднее значение из каждого числа и возвести полученные разности в квадрат:

(5 — 4.8)^2 = 0.04

(2 — 4.8)^2 = 6.4

(7 — 4.8)^2 = 4.84

(4 — 4.8)^2 = 0.64

(6 — 4.8)^2 = 1.44

Таким образом, мы получили квадраты разностей для каждого элемента выборки. Далее необходимо приступить к следующему шагу — вычислению суммы всех полученных квадратов разностей.

Шаг 4: Суммируем квадраты разностей

Теперь, когда мы вычислили разницу между каждым значением и средним в шаге 3, нам нужно возвести каждую разницу в квадрат. Это позволит нам избавиться от отрицательных значений, они могут помешать при вычислении дисперсии.

Для этого мы будем использовать формулу:

(Xi — X̄)²

где Xi — значение из выборки, X̄ — среднее значение.

Теперь мы берем каждую разницу, возводим ее в квадрат и заполняем соответствующую ячейку в таблице:

Значение (Xi)Разница (Xi — X̄)Квадрат разницы ((Xi — X̄)²)
Значение 1Разница 1Квадрат разницы 1
Значение 2Разница 2Квадрат разницы 2
Значение 3Разница 3Квадрат разницы 3
Значение NРазница NКвадрат разницы N

Затем мы суммируем все квадраты разностей и получаем итоговую сумму квадратов разностей.

Оцените статью